Матричная модель формирования шахматного баланса
В данном разделе рассматривается матричная модель формирования шахматного баланса - исходная в системе предлагаемых в настоящей диссертационной работе матричных моделей. Поскольку многое из того, что предлагается ниже - предлагается впервые, изложение здесь и в дальнейшем ведется с необходимыми пояснениями и иллюстрируется простыми числовыми примерами.
Прежде, чем приступить к построению моделей данного раздела и всех последующих, рассмотрим более подробно введенные ранее определения215
корреспонденции счетов и бухгалтерской проводки, определив эти понятия в терминах матричной алгебры.
Определение!. Квадратная матрица размером т х т, у которой на пересечении строки, соответствующему некоторому счету X, и столбца, соответствующему счету У, находится единица, а все остальные элементы равны нулю называется матрицей-корреспонденцией.
Саму матрицу-корреспонденцию будем обозначать Е(Х,У), а ее элемент, равный единице, Е(Х,У)=1 (здесь жирным шрифтом выделена матрица, а обычным обозначен ее элемент, т.е. число). В соответствии с определением все остальные ее элементы Е(1Д)=0, для всех 1*Х и Д^У.
Например, корреспонденции счетов: Дебет 50, Кредит 46 "Реализация ... за наличные" (в наших обозначениях: Е(50,46)=1), соответствует определенная на плане счетов предприятия матрица-корреспонденция Е(50,46) следующего вида:
Дт/Кт 01 . .. 46 . . 50 . . 97
01
46
50 1
97
Здесь и далее, следуя общепринятым правилам, будем обозначать матрицы - большими буквами А,В>СД>,Е,..., а векторы - малыми буквами а,Ь,с,<1,е,..., выделяя их жирным шрифтом с тем, чтобы отличать их от скалярных, т.е. числовых величин, которые будут обозначаться обычными буквами, без выделения жирным шрифтом: А,В,С,0,Е,...и а,Ь,с,д,е,.... Максимальный размер матрицы-корреспонденции определяется количеством счетов, которое содержит план счетов соответствующей институционной единицы. Только для синтетических счетов, содержащихся в плане предприятий размер матрицы-корреспонденции будет 80 х 80, а с субсчетами и аналитическими счетами еще больше. Для коммерческих банков только для216
синтетических счетов (счетов второго уровня) в соответствии с новым планом размер матрицы составит 975 х 975. Но все рассматриваемые ниже определения и результаты будут справедливы для матриц любых размеров.
Отметим также, что не все из возможных т х т корреспонденции допустимы или корректны с содержательной точки зрения. Например, в системе счетов отечественного учета корреспонденция: Е(50,41)- "Получены деньги в обмен на товар" - недопустима, т.е. некорректна. Вместо нее ( в условиях кассового метода) следует выполнить две проводки с корреспонденциями Е(50,46) -"Реализован товар по продажной цене", Е(46,41) - "Списан товар по закупочной цене". Можно привести и многие другие примеры некорректных проводок.
В связи с этим будем считать, что существует подмножество из множества всех возможных корреспонденции, которые принимают логическое значение "О", в отличие от корректных корреспонденции, принимающих, как уже было отмечено, логическое значение "1". Соответственно им существует подножество некорректных матриц-корреспонденций , все элементы которых состоят исключительно из нулей, т.е. нулевых матриц типа Е(Х,У)=0 в отличие от упомянутых выше ненулевых матриц типа Е(Х,У)^0, у которых на пересечении корреспондирующих счетов находится "1", но все остальные элементы равны нулю.
Определение 2. Бухгалтерская проводка - это произведение суммы операции на ее корреспонденцию:
В(Х,У) = 5 o Е(Х,У) (4.1.1)
Определение 3. Матрица-проводка - это произведение суммы операции на матрицу- корреспонденцию:
В(Х,У) = 3 o Е(Х,У) (4.1.2)
Например, для суммы операции 3=6 д.е. и корреспонденции счетов Е(50, 46)-"Реализация за наличные" (матрица-корреспонденция Е(50,46)), получаем следующую матрицу-проводку:В(50,46) = 6
Дт/Кт 01
46
50
97
01
217
46 ... 50 ... 97
Дт/Кт 01
46
50
97
01 ... 46 ... 50 ... 97
Рассмотренный выше вариант матрицы-корреспонденции и матрицы -проводки относится к типу так называемых неокаймленных матриц, т.е. матриц, которые не содержат итогов строк туапсе жилье и столбцов. Для бухгалтерского учета более естественным представляется вариант окаймленных матриц, т.е. матриц, содержащих указанные итоги. Эти две формы представления информации эквивалентны и их различия не принципиальны в контексте рассматриваемой здесь и далее системы матричных моделей. Однако для демонстрации основных идей, связанных с предлагаемой системой матричных моделей, мы будем использовать окаймленные матрицы, поскольку в этом варианте рассуждения и логические выводы обладают большей наглядностью.
Ниже приводится тот же пример, но записанный в форме окаймленных матриц:
В(50,46)=6'
Дт/Кт 01 . . 46 . . 50 . . 97 X
01
46
50 1 1
97
I 1 1
Дт/Кт 01 . .. 46 . . 50 . . 97 2
01
46
50 6 6
97
2 6 6
Как известно, при умножении скаляра X на матрицу все числа, содержащиеся в ней, увеличиваются в X раз . В первом случае -
2 Здесь и в дальнейшем используются достаточно элементарные операции матричной алгебры, подробно изложенные в соответствующей литературе, приводимой в списке: А.Гильберт [321, Х.Э.Крыньский , К.Ланкастер , И.Д.Мозоров , С.Сирл,218
неокаймленные матрицы, все ее элементы, кроме Е(50, 46) =1, равны нулю. Поэтому скалярная величина - сумма проводки 8=6 - автоматически попадает в соответствующую позицию В(50,46) = 6, в то время как все остальные элементы матрицы - проводки будут нулевыми. Во втором - окаймленные матрицы, единицы расположены не только в позиции проводки, но также в соответствующих итоговых позициях. Поэтому при умножении сумма проводки 8=6 - автоматически попадает не только в позицию В(50,46) = 6, но и копируется в соответствующие итоговые позиции строки, столбца и в общий итог матрицы -проводки.
В целях иллюстрации используем простейший числовой пример в виде следующих бухгалтерских проводок (символический эквивалент журнала операций в условных денежных единицах):
В1(50,85)=10 - внесено в кассу в качестве паевого взноса в Уставный капитал;
Вг(41,50)=8 - приобретен товар за наличные по закупочной цене;
Вз(50,46)=6 - получены деньги в оплату за товар по продажной цене;
В4(46,41)=4 - отгружен и списан товар по закупочной цене;
Вз(50,46)=4 - получены деньги в оплату за товар по продажной цене;
В6(46,41)=3 - отгружен и списан товар по закупочной цене;
Здесь подстрочный индекс 1,2, ... - это номер проводки. Те же данные приведены ниже в форме соответствующих матриц-проводок, где неиспользуемые в примере счета в целях экономии места не показаны, но для общности рассуждений они должны были бы присутствовать так, как это было показано выше.
У.Госман . Однако ни в одной работе, посвященной приложениям матричной алгебры в экономике, диссертант не встречал каких-либо приложений непосредственно к моделированию всей системы бухгалтерскоого учета, за исключением частных задач управленческого учета, сводящихся к известным оптимизационным задачам или к модели "затраты-выпуск" В.Леонтьева.219
В1(5Ц85)=10-
Дт/Кт 41 46 50 85 Е
41
46
50 1 1
85
Е 1 1
Дт/Кт 41 46 50 85 Е
41
46
50 10 10
85
Е 10 10
В6(46,41)=3
Дт/Кт 41 46 50 85 Е
41
46 1 1
50
85
Е 1 1
Дт/Кт 41 46 50 85 Е
41
46 3 3
85
Е 3 3
Если просуммировать матрицы-проводки по известным правилам матричной алгебры, которые в этом случае совпадают с обычными правилами суммирования таблиц, то получим матрицу сводных проводок - шахматный баланс или, что то же самое, - оборотную главную книгу:
В=
Дт/Кт 41 46 50 85 Е
41 8 8
46 7 7
50 10 10 20
85
Е 7 10 8 10 35
Таким образом, благодаря представлению проводок в форме введенных по определению матриц-проводок, алгоритм формирования матрицы сводных проводок - шахматного баланса или оборотной главной книги сводится к суммированию матриц-проводок за рассматриваемый период , т.е. его220
(алгоритм) можно записать в следующем совершенно компактном виде как сумму матриц-проводок:
В^В^,^.) (4.1.3) / = 1
С другой стороны, поскольку в соответствии с определением матрицы-проводки (4.1.2): В{ (XI ,У0 = 8; o Е^Х; ,У\), где 1=1,2,..,п туапсе недвижимость продажа - номер проводки, матрица шахматного баланса может быть представлена и при том единственным образом как линейная комбинация матриц-корреспонденций:
В=2 5ГЕ.ВД) (4.1.4)
/ = 1 где коэффициентами линейного разложения являются скалярные величины -
суммы проводок $1 (1 = 1,2,..., п).
Так, по данным рассматриваемого числового примера алгоритм формирования шахматного баланса или оборотной главной можно записать в соответствии с (4.1.4) следующим образом:
В = 10-Е(50,85) + 8-Е(41,50) + 6-Е(50,46) + 4-Е(46,41) + 3-Е(50,46) + + 4-Е(46,41) (4.1.4')
или, если перегруппировать слагаемые и вынести за скобки одноименные матрицы-корреспонденции, то получим:
В = 10-Е(50,85) + 8-Е(41,50) + (6+3)-Е(50,46) + (4+3>Е(46,41)= =10-Е(50,85) + 8-Е(41,50) + 9-Е(50,46) + 7-Е(46,41) (4.1.4")
Таким образом, учетная процедура, состоящая на практике из двух основных шагов: 1) суммирование одноименных проводок и 2) занесение сводных проводок в соответствующие корреспонденциям клетки шахматного баланса, сводится к стандартным операциям матричной алгебры, которые в данном случае подобны обычным алгебраическим операциям.
Пример, представленный в (4.1.4') и (4.1.4"), иллюстрирует правила преобразования множества исходных проводок - журнала операций, в221
матрицу сводных проводок - шахматный баланс. Они сводятся к двум пунктам:
? Суммирование скалярно-матричных произведений: 8; o Е{(Х| ,У;), может производится в любом порядке, так как местоположение сумм проводок в шахматном балансе задано их корреспонденциями.
? Скалярные множители - суммы проводок можно складывать только для одноименных матриц-корреспонденций или, что то же самое, выносить за скобки можно только одноименные матрицы-корреспонденции так, как это сделано в нашем примере:
6-Е(50,46) + 3-Е(50,46) = (6+3)- Е(50,46)= 9-Е(50,46),
4-Е(46,41) + 3-Е(46,41) = (4+3)- Е(46,41)= 7-Е(46,41).
В результате операций перегруппировки слагаемых в исходном ряду
проводок и сложения одноименных по корреспонденциям сумм проводок
матричная формула шахматного баланса (4.1.4) преобразуется в следующую
ниже его формулу:
В= I 5ху-Е(Х,У) (4.1.5)
х, у е МС
При ее записи использован, предложенный в главе 3, принцип содержательной индексации сумм операций 8Х,У , где корреспондирующие счета Х,У принадлежат МС - множеству счетов, актуализированных для отражения операций.
Сформулированные выше правила - это обычные правила матричной алгебры и поразительно то, что они находятся в полном соответствии с процедурами бухгалтерского учета, преобразующими журнал операций в шахматный баланс или, что то же самое, - в оборотную главную книгу.
Действительно, при любой форме учета процедуры организованы таким образом, что:
? Каждой сумме проводки ставится в соответствие корреспонденция ее счетов, что означает возможность занесения сводной проводки именно в ту222
самую, а не в какую-либо другую клетку шахматного баланса, причем порядок занесения несущественен.
? При всех формах учета действует правило, соответствующее вышерассмотренному второму пункту : "суммировать можно только проводки с одноименными корреспонденциями счетов".
В то же время, матричное изображение принципиально отличается от обычного изображения процедур учета тем, что рассматриваемый алгоритм предстает в совершенно компактном виде - в виде одной из матричных формул (4.1.3) - (4.1.5). Эти формулы одномоментно воспроизводят всю указанную процедуру, которая в реальности состоит из отдельных шагов и разобщена по месту и времени их выполнения. Тем самым матричная алгебра, как аппарат моделирования, обеспечивает:
? Во-первых, компактность представления бухгалтерских данных, их преобразований и результатов этих преобразований.
? Во-вторых, устраняет привязанность логических рассуждений и выводов к учетным регистрам и процедурам преобразования с их помощью бухгалтерской информации, т.е. ко всему тому, что обычно составляет содержание системы докомпьютерного счетоводства.
? В-третьих, обеспечивает компактность и прозрачность самых логических рассуждений и выводов, благодаря их проверяемости в рамках используемых операций и преобразований матричной алгебры.
Кольвах, Олег Иванович