Матричная модель бухгалтерского учета: от записи проводок до получения оборотно-сальдового баланса
То, что шахматный баланс систематизирует все сведения о бухгалтерских проводках за отчетный период, отмечено во многих работах3. В них шахматный баланс рассматривается как довольно любопытная, но
3 см., например, Н.Р.Вейцман , В.Ф.Палий, Я.В.Соколов , М.И.Кутер [80, с.401-408], и др223
вместе с тем, малопригодная для каких-либо практических целей форма представления бухгалтерской информации, поскольку -труднообозрима.
Шахматный баланс действительно труднообозрим и громоздок, и в этом смысле он как форма представления информации проигрывает, например, главной книге и другим учетным регистрам, не содержащим пропусков и развернутым по вертикали - для удобства чтения. Но как математический объект, квадратная матрица шахматного баланса обладает ценными свойствами, что, например, в свое время было глубоко осознано и использовано лауреатом Нобелевской премии по экономике Василием Леонтьевым при построении им модели межотраслевого баланса -модели "затраты - выпуск".
Возникает вопрос, можно ли, используя только операции матричной алгебры, представить всю технологию бухгалтерского учета: от записи проводки до получения оборотно-сальдового баланса? Оказывается, что можно, но поставленная таким образом задача не имеет соответствующего математического прообраза в уже известных приемах использования матричной алгебры в экономике.
Вместе с тем, идея предлагаемого здесь впервые подхода чрезвычайно проста и ее математическим прообразом* может служить предложенная диссертантом матричная модель задачи о взаимных расчетах [65, с Л 2-24]. Благодаря этому задача моделирования бухгалтерского учета значительно упрощается и сводится к уже известной нам модели, в соответствии с которой сальдовая матрица окончательных расчетов определяется как разность между исходной матрицей взаимных задолженностей и транспонированной к ней.
4Такой прием широко используется в прикладной математике, когда возникает необходимость прояснить феномен возникновения соответствующих математических методов, которые до сих пор не использовались в обычной практике. Достаточно, например, сослаться на известные теперь всем оптимизационные задачи: "раскроя ткани Канторовича", "транспортную задачу", "задачу коммивояжера", "задачу о диете", "экономическую задачу об объеме партии - ЭЗОП" и т.п. (см., например, [23,55,103,104]).224
В этом смысле задача о взаимных расчетах является персонифицированной метамоделью бухгалтерского учета, т.е. моделью, которая объясняет происхождение бухгалтерского учета как информационной технологии двойственных по своей природе экономических отношений, которые возникают между участниками расчетов по результатам операций, выражаемых в денежных единицах5. Если отойти от явной персононификации и переопределить личные счета участников расчетов как бухгалтерские, то на основе матричной модели взаимных расчетов получаем соответствующую модель бухгалтерского учета институционной единицы: предприятия, банка, бюджетного учреждения, и т.п.
Пусть В - это моделеобразующая матрица шахматного баланса (в дальнейшем - дебетовая матрица сводных проводок), а В' =(В)' -транспонированная к ней кредитовая матрица6, т.е. матрица, в которой строки и столбцы переставлены - инвертированы по отношению к исходной матрице В. Тогда сальдовая матрица АВ будет определена как разность:
В-В' = АВ (4.2.1) По данным нашего примера имеем:
Дт/Кт 41 46 50 85 Е
41 0 0 8 0 8
46 7 0 0 0 7
50 0 10 0 10 20
85 0 0 0 0 0
Е 7 10 8 10 35
Дт/кт 41 46 50 85 Е
41 0 -7 +8 0 + 1
46 + 7 0 -10 0 -3
50 -8 + 10 0 + 10 + 12
85 0 0 -10 0 -10
Е -1 + 3 -12 + 10 0
Кт/Дт 41 46 50 85 Е
41 0 7 0 0 7
46 0 0 10 0 10
50 8 0 0 0 8
85 0 0 10 0 10
Е 8 7 20 0 35
5 В содержательном аспекте данная модель соотносится с теорией персонификации или "олицетворяющих счетов" (см. об этом А.И.Галаган ,И.Ф.Шерр [182,с.50-52], Я.В.Соколов ).
6 Подчеркнем принципиальную особенность используемых здесь и далее обозначений: все они функциональны, т.е. связаны с соответствующими преобразованиями матричной алгебры. Поэтому нет необходимости пользоваться иероглифографическими обозначениями, обычно употребляемых в практике написания формул экономических расчетов.225
Сальдовая матрица шахматного баланса АВ содержит алгебраические сальдо (+,-) по каждой корреспонденции счетов, бизнес финанс консалтинг например: АВ(41,46) = В(41,46)-В(46,41)=0 - 7 = -7<0; АВ(41,50)=В(41,50)-В(50,41)=8-0=8>0 и т.д.
Эта матрица обладает свойствами зеркальной симметричности, которые заключаются в следующем:
? Элементы сальдовой матрицы шахматного баланса АВ всегда зеркально симметричны относительно главной нулевой диагонали. Это свойство состоит в том, что для каждого элемента АВ(Х,У) - сальдо счета по корреспонденции счетов X и V, всегда существует равный по модулю, но противоположный по знаку элемент с инвертированной корреспонденцией АВ(У,Х) такой, что всегда соблюдается равенство: АВ(Х,У) = - АВ(У,Х), где Х,У - любые два корреспондирующих счета, и наоборот: АВ(У,Х) = - АВ(Х,У).
? 2. Сумма элементов сальдовой матрицы всегда равна нулю: X АВ(Х,У)=0, где Х,Уе множеству всех счетов.
? Свойства 1 и 2 относятся и к итогам матрицы АВ:
? Для каждого итога по строке X всегда существует зеркально симметричный итог по столбцу X: АВ(Х,*)= - АВ(*,Х). Например, для строки Х=41-"Товары", дебетовое изменение остатка АВ(41,")= +1, для столбца Х=41, соответственно, кредитов изменение остатка АВ(",41)= -1 и т.д. Здесь знаком "o" обозначена позиция, по которой произведено суммирование.
? Сумма изменений остатков по строкам и столбцам всегда равна нулю:
]ГА#(Л" = 0 и ^№(;Х) = 0.
X X
Если входящие остатки заданы в виде сальдовой матрицы, например, за фиксированный период времени А* =(0,1), то получаем следующее оборотно-сальдовое уравнение шахматного баланса:
АВ0 + В-В'=АВ, (4.2.2) Это уравнение мы называем основным алгебраическим уравнением бухгалтерского учета в матричной форме:226
_______________Сальдовая матрица на начало периода (АВо)_______________
+ Матрица сводных проводок за период (В)
Транспонированная к ней матрица за тот же период (В')__________
______ Сальдовая матрица на конец периода (АВ{)________
С его помощью представлено не одно уравнение, а одновременно все балансовые уравнения по корреспонденциям счетов, связанные воедино с помощью плана счетов соответствующей институционной единицы.
Например, если в нашем примере полученную ранее сальдовую матрицу ЛВ рассматривать как матрицу сальдо вступительного баланса: АВо =АВ, то при известной за период А1=(0,1) новой матрице сводных проводок В (пусть это будут те же проводки, но с другими суммами операций) будем иметь следующее уравнение, которое в соответствии с (4.2.2) представлено ниже:
Д/К 41 46 50 85 Е
41 0 0 9 0 9
46 8 0 0 0 8
50 0 12 0 12 24
85 0 0 0 0 0
Е 8 12 9 12 41
к/д 41 46 50 85 V
41 0 8 0 0 8
46 0 0 12 0 12
50 9 0 0 0 9
85 0 0 12 0 12
Е 9 8 24 0 41
д/к 41 46 50 85 Е
41 0 -7 + 8 0 + 1
46 + 7 0 -10 0 -3
50 -8 + 10 0 +10 + 12
85 0 0 -10 0 -10
Е -1 +3 -12 + 10 0
Д/К 41 46 50 85 Е
41 0 -15 + 17 0 + 2
46 + 15 0 -22 0 -7
50 -17 + 22 0 + 22 + 27
85 0 0 -22 0 -22
Е -2 + 7 -27 + 22 0
227
Известно, что любая матрица, какая бы она ни была, может быть представлена как сумма двух матриц: полуположительной, все элементы которой неотрицательны (>0), и полуотрицательной, все элементы которой неположительны (<0). Это означает, что сальдовая матрица также может быть всегда представлена как сумма указанных матриц:
АВ = АВ+ + ЛВ~ (4.2.3) Здесь полуположительная матрица АВ+ - это матрица, содержащая положительные дебетовые остатки по корреспонденциям счетов; полуотрицательная матрица ДВ~ содержит те же, но отрицательные суммы с инвертированными по отношению к матрице АВ+ корреспонденциями счетов. С другой стороны, сальдовая матрица, вследствие свойства ее зеркальной симметричности также представима и как бухгалтерская разность дебетовой и кредитовой сальдовой матрицы:
ДВ=ДВ+-ДВ'+ (4.2.4)7
Последнее матричное уравнение (4.2.4) - это и есть бухгалтерская форма представления сальдовой матрицы, где дебетовые и кредитовые остатки представлены позиционно - дебетовая слева, кредитовая (транспонированная к ней и также полуположительная матрица)- справа, или, что то же самое, - как разность двух полуположителъных матриц дебетовых и кредитовых остатков.
С учетом этого основное уравнение бухгалтерского учета (4.2..2) также может быть записано в эквивалентной ему бухгалтерской форме:
[АВ0+ - АВ0'+] + В - В'= [АВ!+ - ЛВ/+] (4.2.5) Здесь квадратными скобками выделены договор на составление бизнес плана соответствующие разности дебетовых и кредитовых матриц остатков на начало и конец рассматриваемого периода.
Математическое доказательство этого равенства для общего случая, выполненное диссертантом, не приводится в тексте самой диссертации в целях экономии места и с тем, чтобы не загромождать основной текст техническими деталями.228
Несмотря на принципиальную возможность получения остатков по всем корреспонденциям счетов в форме сальдовой матрицы, на практике, как известно, входящие и исходящие остатки задаются в виде векторов-столбцов. Поэтому возникает необходимость перехода от основного матричного уравнения оборотно-сальдового шахматного баланса к соответствующему ему векторному уравнению бухгалтерского учета - обычному оборотно-сальдовому балансу. Это преобразование названо в настоящей диссертационной работе матрично - векторным преобразованием оборотно-сальдового шахматного баланса.
Для того, чтобы выполнить это преобразование - преобразовать сальдовую матрицу и матрицу сводных проводок (исходную и транспонированную) в итоговые вектор-столбцы остатков и оборотов -, необходимо умножить соответствующие окаймленные матрицы справа на специальный вектор е=ет+1 , у которого т+1-й элемент равен единице, а все остальные элементы равны нулю; для неокаймленных матриц , соответственно, - умножить на единичный вектор-столбец е= ет, у которого все т - элементов равны единице. Процесс указанного выше преобразования: свертка матриц в векторы-столбцы для окаймленных матриц, показана в Приложении 6 к настоящей работе: примеры 2 и 3; для неокаймленных матриц, соответственно,- в примерах 2' и 3'.
В результате из алебраического оборотно-сальдового шахматного баланса в соответствии с уравнением матрично-векторного преобразования:
ДВ0е + В-е - В'е = ДВ, е (4.2.6), получаем алгебраический оборотно-сальдовый баланс в форме векторного уравнения:
ДЪо+Ъ-Ъ^ДЪ, (4.2.7) Здесь обозначенные малыми буквами векторы получены путем следующих преобразований соответствующих им матриц: ? АЬ0=АВ0-е - вектор входящих остатков; ? Ь= В-е - вектор дебетовых оборотов;229
? Ь'= В'е -вектор кредитовых оборотов;
? АЬ]=ЛВ1е - вектор исходящих остатков.
Ниже алгебраическое векторное уравнение (4.2.7) по данным
рассматриваемого числового примера представлено в развернутой форме:
Таблица 4.1 Векторное уравнение оборотно-сальдового баланса в алгебраической форме
Счета АЬ0 Ь Ь' ДЬ1
41
+1
9
8
+2
46 -3 + 8 - 12 = -7
50 +12 24 9 +27
85 -10 0 12 -22
Итого
0
41
41
0
Как следствие из (4.2.4), умножением этого матричного уравнения справа на оператор суммирования е, получаем векторную разность:
АЬ=АЬ+-АЬ'+ (4.2.8) Отсюда имеем бухгалтерскую форму векторного уравнения оборотно-сальдового баланса:
[АЬ0+- АЬо'+] + Ь - Ь' = [АЬ/- ДЬЛ (4.2.9) Ниже (табл.4.2) это бухгалтерское уравнение оборотно-сальдового баланса представлено по данным рассматриваемого числового примера в развернутом виде.
Таблица 4.2 Векторное уравнение оборотно-сальдового баланса в бухгалтерской форме
Счет а АЬ0+ ДЪо'+ ь Ь' дьГ ДЬХ'+
41
1
0
9
8
2
0
46 0 - 3 + 8 - 12 = 0 - 7
50 12 0 24 9 27 0
85 0 10 0 12 0 22
Итого
13
13
41
41
29
29
230
Ему и соответствует обычный табличный эквивалент оборотно-
сальдового баланса (табл.4.3).
Таблица 4.3 Оборотно-сальдовый баланс по счетам бухгалтерского учета
Счета Входящее сальдо Обороты Исходящее сальдо
Дебет Кредит Дебет Кредит Дебет Кредит
41 46 50 85 1 0 12 0 0 3 0 10 9 8
24 0 8
12 9 12 2
0
27
0 0
7
0
22
Итого: 13 13 41 41 29 29
Отметим, что читать оборотно-сальдовый баланс в таблице 4.3 следует только в смысле векторного двустороннего уравнения (4.2.9) или таблицы 4.2, но не как односторонние уравнения. Если уравнения счетов еще как-то могут быть прочитаны как односторонние, то при соответствующей интерпретации итоговой строки неизбежно возникают логические затруднения, поскольку она не может быть прочитана как одностороннее уравнение. При двусторонней же записи в соответствии с (4.2.9): (13 -13) + 41 - 41 = (29 -29), уравнение обращается в тождество: 0=0, поскольку содержит балансовые инварианты, известные как "постулаты Пачоли":
? 41=41 - баланс оборотов: "первый постулат Пачоли";
? 13=13 и 29=29 - баланс остатков: "второй постулат Пачоли".
Кольвах, Олег Иванович