Постулаты Пачоли и Пизани: их доказательство в предлагаемой системе средств ситуационно-матричного моделирования

В соответствующих словарях и справочниках находим следующие определения используемого термина : "ПОСТУЛАТ [< лат. розШ1а1ит] -предпосылка, допущение; положение, не отличающееся самоочевидностью, но все же принимаемое в данной науке за исходное без доказательств ..." . Или: "ПОСТУЛАТ (от лат. ро8Ш1аШт - требование), 1) утверждение (суждение), принимаемое в рамках к.-л. науч. теории за истинное, хотя и231

недоказуемое ее средствами (курсив мой, О.К.), и поэтому играющее в ней роль аксиомы. 2) Общее наименование для аксиом или правил вывода к.-л. исчисления" [141, с. 1042]. В связи с этим представляется не вполне корректным употребление термина "постулат" по отношению к рассматриваемым балансовым инвариантам, установленными Пачоли и Пизани. Они по определению не могут быть таковыми, так как являются результатами учетной процедуры, более того, ее контрольными равенствами, на основании которых она считается правильно выполненной. Парадоксально, но до сих пор нет удовлетворительного, т.е. строго математического доказательства балансовых инвариантов, известных под названием постулатов Пачоли и Пизани, несмотря на то, а скорее всего потому, что они подтверждены многовековой счетной практикой8.

Среди современных нам отечественных авторов, кто сознавал необходимость и специально занимался проблемой математического доказательства Пачоли и Пизани, следует, прежде всего, назвать Р.С.Рашитова. Он же ссылается на работы предшественников - российских ученых: И.П. Руссиян "Основания двойной бухгалтерии" (Одесса, 1884 год); А.Колкотин "Две аксиомы в бухгалтерии" (Минск, 1909); Н.У.Попов "Математический метод в бухгалтерии" (Красноярск, 1906) [126 , с.43; с. 127 -список литературы]. В перечисленных выше работах предпринята попытка аксиоматизировать учет, чтобы из аксиом логически вывести эмпирически установленные балансовые инварианты - постулаты Пачоли и Пизани, как теоремы или утверждения.

Сам же Р.С.Рашитов, развивая акиоматический подход, предлагает несколько моделей - логических баз аксиоматизации (всего - три модели

Вместе с тем, еще в античные времена была понята необходимость априорного доказательства основных теорем геометрии, скажем, теоремы Пифагора для множества всех существующих прямоугольных треугольников, несмотря на то, что эта зависимость, по всей видимости, была уже сформулирована и подтверждена всем предшествующим многовековым "геометрическим опытом" непосредственного измерения. Но древние хорошо понимали, что эмпирически подтверждаемые результаты процедуры ни в коем случае не являются 1с бизнес процессы примеры и не могут быть доказательством полученного результата.232

аксиоматизации), в которых количество постулатов варьируется от девяти до одиннадцати, неопределяемых понятий - тринадцать, производных понятий и терминов - около семидесяти, и т.д. [126, с.43-70]. В рассматриваемой работе приводятся доказательства трех лемм и восьми теорем, в том числе теоремы, утверждающие постулаты Пачоли и Пизани на основе аксиоматизированных постулатов, многочисленность которых служит препятствием к их запоминанию.

В системе предлагаемых диссертантом матричных моделей математические доказательства рассматриваемых балансовых инвариантов, представленных ниже как утверждения, укладываются буквально в несколько строчек.

Утверждение 1: "первый постулат Пачоли" - баланс оборотов: е'Ь = е'Ъ', следует из того, что исходная матрица сводных проводок В и транспонированная к ней В' являются одним и тем же множеством чисел: {В} = {В'}, а поэтому их суммы равны между собой: е'Ве = е'Ве или е'(Ве) = е'(Ве). Но поскольку Ь=Ве и Ь'=В'е, то отсюда и следует, что:

е'Ъ=е'Ъ', т.е. тем самым доказана непреложность тождественного равенства дебетового и кредитового оборотов.

Утверждение 2: "второй постулат Пачоли" - тождественное равенство дебетовых и кредитовых осмтатков: е'ЛЪ+ = е'ДЪ'+, следует из того, что алгебраический баланс остатков всегда равен нулю: е'АЬ = 0. Но поскольку в соответствии с (4.2.8) вектор алгебраического баланса всегда может быть представлен в бухгалтерской форме - в виде разности векторов дебетовых и кредитовых остатков:

ДЬ = ДЬ+ - ДЪ'+ , то справедливо равенство соответствующих скалярных произведений-итоговых остатков: е'ДЬ = е'ДЬ+ - е'ДЪ' = 0, откуда вытекает

бухгалтерский баланс остатков:233

е'АЬ+ = е'ДЬ'+, т.е. таким образом доказана непреложность тождественного равенства итоговых дебетовых и кредитовых остатков.

Менее кратким, но все же достаточно лаконичным, оказывается и предлагаемое ниже доказательство постулата Пизани, который приводится здесь в формулировке Я.В.Соколова .

Утверждение 3: "постулат Пизани": "Сальдо счетов статистических равно сальдо счетов динамических, каждое из них равно сумме прибыли". Уточним только, что здесь речь идет об итоговых алгебраических равенствах сальдо и финансового результата.

Обозначим С - матрицу сводных проводок - шахматный баланс счетов статических, т.е. всех счетов, кроме операционно-результатных; Т> - матрицу сводных проводок счетов динамических, т.е. операционно-результатных счетов, на 1с бизнес школа управление проектами которых учитываются доходы и расходы (в отечественной системе счетов предприятий - это счета 46,47, 48; в банковском учете - пассивный счет 701 "Доходы" и активный счет 702 "Расходы").

Общая матрица В - шахматный баланс сводных проводок может быть записана как сумма матриц счетов статических и динамических, т.е. в виде:

В=С + Б, а транспонированная к ней кредитовая матрица В' как сумма соответствующих транспонированных, т.е. кредитовых матриц статических - С и Т>' -динамических счетов:

В'=С + Б' Поскольку: ЛВ= В - В', то в соответствии с вышеприведенным получаем:

В - В'= (С - С ) + (Б - Ю= (С - С ) - (В' - Б). Или, обозначив через ДС= (С - С ) - матрицу дебетового сальдо счетов статических, а через ДБ' = (Б' - Б) - матрицу кредитового сальдо счетов динамических, будем иметь уравнение:

ДВ = ДС-ДВ\234

Таким образом: "Общая сальдовая матрица всегда равна разности матрицы дебетового сальдо счетов статических и кредитового сальдо счетов динамических".

Поскольку алгебраическая сумма элементов сальдовой матрицы в соответствии с ее свойством зеркальной симметричности всегда равна нулю: е'(ЛВе)=0, то и правая часть последнего числового равенства также равна нулю:

еЧАСе)-е'(АО'е)^0. Отсюда следует непреложность скалярного балансового инварианта:

е'(ЛСе) = е'(М)'е).

Поскольку матрица кредитового сальдо счетов динамических- это матрица финансового результата: ДО'=0'-Р, то итоговый - скалярный финансовый результат будет соответственно представлен также как разность:

е'(М>' е) = е'ф'еЬе'фе),

где е'(1Уе) - итоговый кредитовый; е'(Т>е)- итоговый дебетовый оборот динамических, т.е. операционно-результатных счетов. Таким образом, окончательно имеем:

е'(ДСе) = е'(ДО' е)= е'(0'е)-е'(Ве) > 0, если финансовый результат - прибыль, в том числе и нулевая, и:

е'(ДСе) = е'(ДВ' е)= е'(0'е)-е'(1>е) < о, если финансовый результат - убыток.

Таким образом: "Итоговое сальдо счетов статических: е'(ДСе), равно итоговому сальдо счетов динамических: е'(АТУ е) , каждое из них равно финансовому результату: е'(0'е)-е'(1)е), т.е. прибыли или убытку в зависимости от знака последней разности".

Приведенное выше доказательство постулатов Пачоли и Пизани само по себе является, по-видимому, научным результатом. Но в предлагаемой системе ситуационно-матричного моделирования все это имеет также и практическое значение, поскольку указывает на то, что предлагаемая система моделей235

адекватна соответствующим ей объектам в реальных системах бухгалтерского учета в самом обобщенном смысле, а не только на ограниченном счетным опытом количестве числовых примеров.

Кольвах, Олег Иванович